SÜREKLİ KESİRLER VE PELL DENKLEMLERİNE UYGULAMALARI

Abstract

ÖZET

Tez çalışmamız 4 ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm girişten oluşmaktadır. Bu bölümde sürekli kesirlerin ve Pell denkleminin tarihçesinden bahsedilmiştir.

İkinci bölümde ise Sürekli kesirler başlığı altında, sonlu ve sonsuz sürekli kesirlerin yaklaşımları, bu yaklaşımlarla ilgili bazı teoremler, √d’nin periyodik açılımı, periyodik sürekli kesirler ve tamamıyla periyodik sürekli kesirlerden bahsedilmektedir. Ayrıca, Pell denklemlerinin çözümünde yardımcı olacak sonsuz sürekli kesirlerin yaklaşımları ile ilgili teoremler verilmiştir.

Üçüncü bölümde ise sonsuz sürekli kesirlerin yaklaşımlarını kullanarak d tamkare olmayan bir tamsayı olmak üzere, x^2-dy^2=±1 Pell denkleminin temel çözümü ve tüm tamsayı çözümlerinin nasıl bulunacağından bahsedilmiştir.

Dördüncü bölümde ise sonuç ve önerilerden bahsedilmiştir.

ABSTRACT

Our study consists of 4 main sections. The first section is the introduction. In this section, the history of continued fractions and the Pell equation is discussed.

In the second section, under the title of Continued Fractions, the approximations of finite and infinite continued fractions, some theorems related to these approximations, the periodic expansion of √d, periodic continued fractions, and completely periodic continued fractions are discussed. Also, the theorems related to the approximations of infinite continued fractions that assist in solving Pell equations are given.

In the third section, using the approximations of infinite continued fractions, it is discussed how to find the fundamental solution and all integer solutions of the equation x^2-dy^2=±1, where d is a non-square positive integer.

The fourth section discusses the results and recommendations.