Logaritmada Lineer Formlar Yardımıyla Bazı Diofant Denklemlerin Çözümü

Abstract

ÖZET: Altı bölümden oluşan bu tezin birinci bölümünde Diofant denklemleri, cisim genişlemeleri ve cebirsel sayılar ile ilgili tanımlamalar yapılmıştır. Bununla birlikte, Baker'in teorisi ve logaritmada lineer formlar kısaca açıklanmıştır. Sonra Baker'in teorisi ve logaritmada lineer formlara ilişkin bazı teoremler verilmiştir. İkinci bölümde lineer rekürans dizileri, üçüncü bölümde ise sürekli kesirler hakkında bazı bilgiler verilmiştir. Ayrıca bu kavramlara ilişkin bazı teoremler teoremler verilmiştir. Dördüncü bölümde, sonraki bölümdeki teoremlerin ispatlarında kullanılacak olan bazı yardımcı sonuçlar ifade edilmiştir. Tezin beşinci bölümünde ise ilk olarak ve denklemlerinin ve olmak üzere tüm negatif olmayan tamsayı çözümleri bulunmuştur. Ardından da denklemini sağlayan sayıları için eşitsizlikler verilmiş ve daha sonra da bu eşitsizlikler yardımıyla aralığında denkleminin tüm negatif olmayan tamsayı çözümleri elde edilmiştir. Altıncı bölümde ise sonuç ve önerilerden bahsedilmiştir.

ABSTRACT: In the first chapter of this thesis, which consists of six chapters, after mentioning Diophantine equations, some definitions concerning field expansions and algebraic numbers are given. Moreover, Baker’s Theory and linear forms in logarithms are briefly explained. Then, some theorems related to Baker’s Theory and linear forms in logarithms are given as well. In the second and third chapters, some informations about linear recurrence sequences and continued fractions are given, respectively. Also, some theorems regarding these are given. In the forth chapter, some auxiliary results to be used in the proofs of theorems in the next chapter are expressed. In the five chapter, Diophantine equations 2𝐹𝑛=3𝑠𝑦𝑏 and 𝐹𝑛∓1=3𝑠𝑦𝑏 in nonnegative integers 𝑛,𝑠,𝑦,𝑏 such that 𝑛,𝑦≥1,𝑏≥2 and (3,𝑦)=1 are solved. Moreover, it is obtained inequalities for the integers 𝑛,𝑠,𝑦,𝑏 satisfying the Diophantine equation 𝐹𝑛∓𝐹𝑚=3𝑠𝑦𝑏. Later, using these inequalities, all solutions of the Diophantine equation 𝐹𝑛∓𝐹𝑚=3𝑠𝑦2 for 2≤𝑦≤10000 are found. Last chapter covers conclusions and recommendations.